Le théorème d'incomplétude de Kurt Gödel

K. Gödel est le penseur du XXe siècle qui a fait basculer l'univers des croyances de la pensée Occidentale.

 

Le théorème d'incomplétude répond à la question posée dans le programme de David Hilbert en 1930 où il s'agit de démontrer la non-contradiction de l'arithmétique, prolongeant ainsi les travaux de Richard Dedekind et Georg Cantor pour lesquels la cohérence, voire l'existence d'un objet mathématique équivaut à la non-contradiction des conditions qui le définissent, soit sa complétude.

Ce théorème, révolution de la pensée Occidentale 

 


EXPOSE

K. Gödel expose son théorème d'incomplétude en 1931 dans son célèbre article Sur les propositions formellement indécidables des Principa Mathematica et des systèmes apparentés. Il répond au second problème de la liste de ceux exposés par David Hilbert lors du deuxième congrès international des mathématiciens de Paris en 1900 qui cherche à établir la consistance de l'arithmétique, soit la non-contradiction des axiomes de l'arithmétique élémentaire des entiers naturels.

 

Il s'agit de démontrer que l'arithmétique est un langage qui constitue un ensemble décidable de propositions. Par sa démonstration, il apparaît que l'affirmation de cette totale autonomie de la raison est infondée, puisque l'incomplétude est un fait démontrable. Faisant la démonstration que la théorie ne se suffit pas à elle-même,  il démontre l'indécidabilité de certains énoncés dont s'ensuit l'incomplétude de la théorie qui ne peut se fonder récursivement.

 

Très précisément, son théorème porte sur l'incomplétude syntaxique de l'arithmétique. Il s'intéresse au système formel syntaxiquement complet. Il y montre l'incomplétude déductive de l'arithmétique élémentaire. Ceci signifie que l'énumération récursive de propositions vraies de l'arithmétique élémentaire est impossible.

EXAMEN

K. Gödel atteste qu'aucune théorie ne se suffit à elle-même parce qu'elle contient nécessairement des énoncés indécidables, indépendants de cette théorie. La cohérence d'une théorie s'exprime en fait en dehors d'elle car elle requiert des énoncés qui ne sont pas démontrables en son sein. La complétude logique nécessite toujours des énoncés d'un second ordre.

 

A contrario, K. Gödel ne nie pas la complétude. Elle est une exigence rationnelle dont la réalisation ne saurait advenir dans un système autoréférent qui ne peut en aucun cas satisfaire à l'exigence de la décidabilité des propositions qui le composent. En cela le théorème d'incomplétude prolonge le paradoxe d'Epiménide qui enseigne qu'un système de propositions se référant à lui-même est indécidable.

 

En ce sens, K. Gödel rejoint G.W. Leibniz dans son exposé de la raison suffisante. Celle-ci s'élève au lieu de décliner dans la logique formelle. L'incomplétude leibnizienne exprime cette nécessité rationnelle de rendre raison de la rationalité. Alors, la raison suffisante précède toutes les autres raisons, non pas logiquement ou chronologiquement, mais ontologiquement. Cette raison qui se suffit à elle-même ne se confond pas avec les raisonnements d'un premier système. Elle appartient nécessairement à un autre ordre qui dépasse le précédent et lui confère sa décidabilité en transférant le paradoxe de l'autoréférence dans un jugement et des propositions d'un nouvel ordre qui appartient à un second système d'une autre nature que le précédent, puisqu'il ne saurait se confondre à lui.

 

Au-delà de la logique qui seule ne peut se donner de signification, K. Gödel reprend donc l'oeuvre de  G.W. Leibniz où se démontre que la complétude se réalise au-delà par un exercice  qui évite la récursion et la circularité aliénante d'un système propositionnel autonome, mais alors indécidable.

ENSEIGNEMENTS

K. Gödel manifeste cette révolution de la pensée Occidentale qui met un terme à la quête d'une pensée systématique qui serait autonome parce qu'auto-suffisante. Si aucun système de signes ne peut parvenir sans contradiction à sa complétude, cette dernière n'en demeure pas moins une aspiration qui introduit l'hétéronomie et l'herméneutique. 

 

L'hétéronomie, parce que les signes sont toujours interdépendants et acteurs d'une surdétermination des uns sur les autres; l'herméneutique, parce que tout système de signes requiert une sémantique et une syntaxe équivoque, puisqu'aucun premier signe ni aucune proposition présentée comme axiomatique ne sauraient se suffire à eux-mêmes ou s'imposer d'évidence sans faire taire arbitrairement des interprétations, soit l'équivocité consécutive de l'indécibabilité.

 

Comme le rappelle W.V. Quine (1) :

" Qu'il ne puisse y avoir de systématisation déductive correcte et complète de la théorie élémentaire des nombres, et encore moins des mathématiques pures en général est vrai."

Or, fort est de constater deux tendances historiques qui ont largement contribué à décentrer la question, déplacer le débat et y substituer une tentative de preuve par la praxis, à la manière d'une dialectique agissant dans l'histoire. En effet, et W.V. Quine le mentionne (2), le théorème d'incomplétude et ses conséquences sont négligés au profit d'une théorie de la démonstration qui tente d'en amoindrir les effets sans en tirer les enseignements. Celle-ci mène à la deuxième tendance d'une théorie générale de la calculabilité à l'oeuvre dans le projet cybernétique et qui tente de concrétiser la complétude par l'action dans la construction des systèmes dans toutes les composantes de la société. La preuve inaccessible dans les termes le deviendrait dans les faits !

 

A ce jour, cette négligence du théorème d'incomplétude témoigne d'un décalage entre la connaissance et l'action, entre l'ancienne croyance baconnienne et les limites internes des systèmes formalisés. Toutes les sciences qui s'assujettissent à l'ordre des mathématiques s'exposent au paradoxe véridique de leur incomplétude. C'est donc bien, la croyance initiale de R. Bacon et de ses successeurs qui prend fin avec K. Gödel. Mais l'Occident ne l'a pas encore assimilé, comme il n'a pas été vigilant à la dernière époque des travaux de K. Gödel sur la théorie des concepts.

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(1) W.V. Quine - Les voies du paradoxe et autres essais - Traduction sous la direction de S. Bozon et S. Plaud - Librairie Vrin - 2011 - p. 64

 

(2) " Le résultat de Gödel donna naissance à un mouvement de recherche qui a pris en trente ans les proportions d'une branche importante et active des mathématiques appelée parfois théorie de la démonstration, qui traite des fonctions récursives et de choses semblables, et qui embrasse en fait une théorie générale abstraite du calcul informatique (machine, computation)."

Idem - p. 64

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 A partir de : Penser au-delà des mathématiques - pages 99 à 104